Matematika - érettségi követelmények

1) Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok

1.1 Halmazok

Halmazok megadása (felsorolás, tulajdonsághalmaz, ábrával); elem fogalma.
Fogalmak: halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges/végtelen, komplementer.

1.1.1 Halmazműveletek

Unió, metszet, különbség – értelmezés és egyszerű feladatok.
Egyszerűbb ponthalmazok ábrázolása koordináta-rendszerben.

Venn-diagram Számtengelyes ábrázolás

1.1.2 Számosság, részhalmazok

Véges halmaz elemszáma, részhalmazok száma kis feladatokban.
Szitaelv (logikai szita) két–három halmazra.
Példák: véges, megszámlálhatóan végtelen, nem megszámlálható halmaz.

Szitaelv |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|

1.2 Matematikai logika

Egyszerű matematikai szövegek értelmezése; tagadás használata.
„és”, megengedő „vagy”, kizáró „vagy” – logikai jelentés és kapcsolat halmazműveletekkel.
„ha… akkor…”, „akkor és csak akkor” igazságértékének eldöntése.
Helyes használat: „minden”, „van olyan”.

1.2.1 Fogalmak, tételek és bizonyítások

Definíciók és tételek pontos megfogalmazása; egyszerű állítások igaz/hamis eldöntése.
Állítás megfordítása – megfogalmazás és ellenpélda-keresés alapfokon.
Feltételek: szükséges, elégséges, szükséges és elégséges – helyes alkalmazás.

1.3 Kombinatorika

Egyszerű sorbarendezés, kiválasztás; kedvező esetek száma, komplementer módszerrel is.
Binomiális együtthatók kiszámítása; Pascal-háromszög alapötlete.

nCr Pascal-háromszög

1.4 Gráfok

Hétköznapi szituációk modellezése egyszerű gráffal; alapfogalmak: pont, él, fokszám.
Fokszámok összege ↔ élek száma (alkalmazás alapfeladatokban).

∑fok = 2·|E| Modellezés

1.1 Halmazok – emelt fókusz

de Morgan-azonosságok ismerete és alkalmazása.
Komplementerrel és kvantorokkal megfogalmazott állítások átírása, tagadása.

¬(A∪B)=¬A∩¬B ¬(A∩B)=¬A∪¬B

1.1.2 Számosság – mélyebben

Szitaelv 2–3 halmazra bizonyítással/indoklással; összetettebb feladatok.
Megszámlálhatóan végtelen halmaz definíciója; példák (ℕ, ℤ, ℚ).
Egyszerű bizonyítás arra, hogy egy halmaz megszámlálhatóan végtelen (pl. páros számok, racionálisak sorba rendezése).
Példa nem megszámlálható halmazra (ℝ intervallum), intuíció (Cantor-diagonál alapgondolat).

1.2 Logika – emelt fókusz

Összetett állítások igazságtáblázata; ekvivalencia és implikáció tulajdonságai.
Kvantifikált állítások tagadása: „minden” ↔ „van olyan” helyes kezelése formalizált példákban.

p⇒q ≡ ¬p ∨ q ¬(∀x P) ≡ ∃x ¬P

1.2.1 Bizonyítási módszerek

Direkt és indirekt bizonyítás; ellenpélda szerepe.
Skatulyaelv (pigeonhole): tipikus alkalmazások.
Teljes indukció – állítás megfogalmazása, bázislépés, indukciós lépés.
Szükséges / elégséges feltétel precíz használata és feladatba ágyazása.
Tételek megfordítása: helyes megfogalmazás, igaz/hamis eldöntése konkrét példákban.

1.3 Kombinatorika – emelt fókusz

Permutációk (ismétlés nélkül/ismétléssel), variációk (ism./nem), kombinációk (ismétlés nélkül) képletei és alkalmazásuk.
Binomiális tétel és binomiális együtthatók tulajdonságai; Pascal-háromszög összefüggései.

n!nPknCk(a+b)^n

1.4 Gráfok – emelt fókusz

Fogalmak: többszörös él, hurokél, séta, körséta, út, kör, összefüggő gráf, egyszerű gráf, teljes gráf, fa, komplementer gráf, izomorf gráfok.
n pontú teljes gráf élszáma: n(n−1)/2; fa pontjai és élei: |E|=|V|−1.
Bizonyítás: bármely (legalább kétpontú) egyszerű gráfban van két azonos fokszámú pont (skatulyaelv ötlete).

∑deg(v)=2|E| Kₙ élszám Fa: |E|=|V|−1

Kulcsfogalmak: de Morgan • szitaelv • szüks./elégséges • indukció • nCr • Kₙ • fa |E|=|V|−1

2) Számelmélet, algebra

2.1 Alapműveletek

Biztos műveletvégzés (kézzel és géppel).
Műveleti azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás – tudatos használat.

2.2 Természetes számok, alapfogalmak

Osztó, többszörös, prímszám, összetett szám – definíció és példa.
Prímtényezős felbontás; lnko és lkkt számítása, alkalmazása szöveges feladatban.
Relatív prím fogalma.
Számelmélet alaptétele – megfogalmazás.

2.2.1 Oszthatóság

10 hatványai; 2,3,4,5,6,8,9 oszthatósági szabályai.
Egyszerű oszthatósági feladatok; pozitív osztók számának meghatározása.

2.2.2 Számrendszerek

Átírás 10-esből n-alapúba (n≤9) és vissza; helyiértékes írásmód.
Összeadás/kivonás n-alapú rendszerben.

2.3 Racionális és irracionális számok

Definíciók, kapcsolat a tizedestörtekkel (véges, szakaszos, nem szakaszos).
Eldöntés: adott n∈ℕ esetén √n irracionális-e.
Tizedestört → közönséges tört visszaalakítás.

2.4 Valós számok

Számkörök: ℕ, ℤ, ℚ, ℚ*, ℝ; ábrázolás számegyenesen.
Zártság műveletekre; nyílt/zárt intervallum jelölése.
Abszolútérték definíciója; normálalak és számolás vele; kerekítés helyiérték szerint.

2.5 Hatvány, gyök, logaritmus

Hatványozás racionális kitevővel; azonosságok és használatuk.
Négyzetgyök azonosságok; √[n]{a} értelmezése.
Logaritmus fogalma; tetszőleges alapú logaritmus számítása lg-gel.

2.6 Betűkifejezések

Polinom foka, rendezett alak.

2.6.1 Nevezetes azonosságok

(a±b)², a²−b² kifejtése és szorzattá alakítások; kiemelés.

2.7 Arányosság

Egyenes és fordított arányosság – definíció, grafikon.
Százalékfogalom és alkalmazása feladatokban.

2.8 Egyenletek, rendszerek, egyenlőtlenségek

Alaphalmaz, megoldáshalmaz.
Módszerek: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítás, következményegyenlet, új ismeretlen, tartomány/értékkészlet.
Szöveges feladat: változók tartományának megadása, eredmény ellenőrzése szöveghez.

2.8.1 Algebrai egyenletek, rendszerek

Egyenletek/rendszerek alkalmazása szövegesben; tartomány/értékkészlet-vizsgálat, szorzattá alakítás.

2.8.1.1 Elsőfokú: 1 ismeretlenes; 2 ismeretlenes rendszer.
2.8.1.2 Másodfokú: általános alak, diszkrimináns és gyökök száma; megoldóképlet; teljes négyzetté alakítás; gyöktényezős alak; szövegesre vezetés.
2.8.1.3 Magasabb fokú: másodfokúra visszavezethető egyszerű egyenletek.
2.8.1.4 Négyzetgyökös: √x+b=cx+d típus; legfeljebb két négyzetre emeléssel.

2.8.2 Nem algebrai

Abszolútértékes: egyszerű esetek algebrai felbontással.
Exponenciális: definíciók/azonosságok közvetlen alkalmazása; egyszerű modellek.
Logaritmusos: alap feladatok.
Trigonometrikus: definíciók/azonosságok, ill. másodfokúra visszavezetés.

2.8.3 Egyenlőtlenségek

Egyszerű első- és másodfokú egyenlőtlenségek, rendszerek.
Alap négyzetgyökös, abszolútértékes, törtes, exponenciális, logaritmusos, trigonometrikus esetek.

2.9 Középértékek, egyenlőtlenségek

Két pozitív szám: számtani, mértani, négyzetes, harmonikus közép – nagyságrend-viszonyok.
Feladatok az AM–GM összefüggéssel: \((a+b)/2 \ge \sqrt{ab}\), ha \(a,b>0\).

2.2 Számelmélet – emelt fókusz

Számelmélet alaptétele: egyértelmű prímtényezős felbontás.
Bizonyítás: végtelen sok prímszám (Eukleidész-ötlet).
Összetett oszthatósági feladatok; osztók számának képlete prímtényezős alakból.

2.3 Racionális–irracionális – emelt fókusz

Bizonyítás: √2 irracionális; döntés √n irracionalitásáról mintaelvekkel.

2.5 Hatvány, gyök, logaritmus – emelt

Hatványazonosságok bizonyítása egész kitevőre; permanencia elv; irracionális kitevő szemléletes értelmezése.
Négyzet-/gyökvonási azonosságok bizonyítása és alkalmazása.
Logaritmus azonosságok: szorzat, hányados, hatvány; más alapra váltás (logₐ b = log_c b / log_c a).

2.6 Nevezetes azonosságok – emelt

Szorzattá alakítás: \(a^n-b^n\), \(a^{2n+1}+b^{2n+1}\) típusok.
Algebrai műveletek összetettebb kifejezésekkel (osztás, kiemelés, rendezés).

2.7 Arányosság – emelt

Összetettebb arányossági szöveges feladatok, aránypárok láncolása.

2.8 Egyenletek/egyenlőtlenségek – emelt fókusz

Elsőfokú: paraméteres egyenlet; 3 ismeretlenes lineáris rendszer.
Másodfokú: megoldóképlet igazolása; gyök–együttható kapcsolatok; paraméteres másodfokú; törtes egyenletek; egyszerű másodfokú rendszerek.
Magasabb fokú: rendszerek/egyenletek visszavezetése másodfokúra.
Nem algebrai: exponenciális modellezés és megoldás; logaritmusos egyenletek; trigonometrikusra visszavezetés; összetettebb abszolútértékes feladatok.
Egyenlőtlenségek: gyökös, abszolútértékes, törtes, exp, log, trig – mintafelismerés és megoldási séma.

2.9 Középértékek – emelt

AM ≥ GM bizonyítása \(a,b>0\) esetén; alkalmazások optimalizálásban.

Kulcsformulák: lnko/lkkt • osztók száma • normálalak • hatvány/log azonosságok • D=b²−4ac • AM≥GM

3) Függvények, az analízis elemei

3.1 A függvény

Fogalmak: értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet.
Szöveges modellből képlet felírása; f(x)=c típusú egyenletből x meghatározása egyszerű esetekben.
Kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés ötlete és gyakorlati alkalmazások.
Egyszerű hozzárendelés megfordítása és ábrázolása (ha értelmezett).

3.2 Egyváltozós valós függvények

Ismerd, ábrázold, jellemezd az alábbiakat:

x ↦ ax+b (lineáris)
x ↦ x², x ↦ ax²+bx+c (másodfokú)
x ↦ √x

x ↦ 1/x (x≠0)
x ↦ a^x (a>0, a≠1)

3.2.1 Grafikon & transzformációk

Értéktáblázatból/képletből ábrázolás; leolvasás a grafikonról.
Alap transzformációk: f(x)+c (eltolás), f(x+c) (vízszintes eltolás), c·f(x) (nyújtás), |f(x)|.

3.2.2 Függvényjellemzés

Értékkészlet, zérushely(ek), növekedés–fogyás, lokális szélsőértékek grafikon alapján.

3.3 Sorozatok

Megadás: utasítás, képlet, rekurzió. Jellemzés: korlátosság, monotonitás.
Konvergencia szemléletesen.

3.3.1 Számtani és mértani sorozatok

Általános tag és összegképlet ismerete (a_n, S_n), tipikus feladatok.

3.3.2 Végtelen mértani sor

Fogalom és összeg képlete (|q|<1 esetén) – egyszerű alkalmazások.

3.3.3 Kamatos kamat, járadék

Kamatos kamat képlete, bármely ismeretlen kifejezése.
Gyűjtőjáradék, törlesztőrészlet; megtakarítás/hitel alapfeladatok és kockázati tényezők felismerése.

3.4 Analízis – alapok

3.4.1 Határérték, folytonosság

Végesben/végtelenben vett határérték szemléletes fogalma; folytonosság szemléletes fogalma.

3.4.2 Differenciálszámítás

Differencia- és differenciálhányados fogalma.
Szabályok: összeg, különbség, konstansszoros, szorzat, hányados; egyszerű láncszabály.
Alkalmazások: érintő egyenlete; szélsőérték-feladatok; polinomok vizsgálata (monotonitás, szélsőérték, konvexitás).

3.4.3 Integrálszámítás

Határozott integrál szemléletes fogalma, alap-tulajdonságai; kétoldali közelítés; integrálfüggvény, primitív függvény; Newton–Leibniz-tétel.
Terület-számítás polinom, szinusz és koszinusz alatt.

3.1 Függvényfogalom – emelt fókusz

Pontos definíciók: értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet, helyettesítési érték.
Függvények műveletei: összeg, különbség, szorzat, hányados (tartomány-kezeléssel).
Leszűkítés és kiterjesztés; inverzfüggvény fogalma és alkalmazása.
Összetett függvény képzése és értelmezése.

3.2 Alapfüggvények

x ↦ xⁿ (n∈ℕ⁺), x ↦ |x|
x ↦ aˣ (a>0, a≠1), x ↦ logₐx (x>0)

x ↦ sin x, x ↦ cos x, x ↦ tg x
Összetett függvények képzése a fenti bázisokból.

3.2.1 Transzformációk – általános alak

Ábrázolás transzformáltakkal: c·f(x+b)+d, illetve c·f(ax)+d; tükrözések, nyújtások, eltolások rendszerezése.

3.2.2 Jellemzés – bővebben

Periodicitás, paritás, korlátosság meghatározása.
Tulajdonságok levezetése alapfüggvény + transzformáció alapján.
Konvexitás/konkavitás fogalma; szélsőérték-feladatok másodfokú függvényre vezetve.

3.3 Sorozatok – emelt fókusz

Konvergens sorozat definíciója és használata egyszerű példákban.
Konvergens sorozatok összege/különbsége/szorzata/hányadosa – határérték-tételek alap esetei.

3.3.1 Számtani & mértani – levezetés

Általános tag és összegképlet levezetése mindkét esetre; célfeladatok (aₙ, Sₙ).

3.3.2 Végtelen mértani sor

Összegképlet feltételekkel, alkalmazás pénzügyi/fizikai modellekben.

3.3.3 Pénzügyek – emelt

Járadék- és hitelképletek kényesebb esetei, paraméter-vizsgálat (kockázat, futamidő, kamatláb).

3.4 Analízis – emelt fókusz

3.4.2 Differenciálszámítás – bizonyítások

Bizonyítás: \((x^n)’ = n x^{n-1}\) (n∈ℕ).
Trigonometrikus függvények deriváltjai: \((\sin x)’=\cos x\), \((\cos x)’=-\sin x\), \((\tan x)’=\sec^2 x\).

3.4.3 Integrál – eszköztár

Primitívfüggvény-keresés egyszerű polinomokra és alap trigonometrikus függvényekre; Newton–Leibniz rutinszerű alkalmazása.

Kulcstémák: alapfüggvények • transzformációk • sorozatok (A/G, végtelen mértani) • derivált alapszabályok • Newton–Leibniz

4) Geometria, koordinátageometria, trigonometria

4.1 Elemi geometria

Alapfogalom, axióma, definíció, tétel – helyes használat.

4.1.1 Térelemek

Térelemek, szög, szögpárok; szögek osztályozása.
Távolságok/szögek: pont–egyenes/sík; párhuzamos egyenesek/síkok; egyenes–egyenes, egyenes–sík, sík–sík hajlásszöge.

4.1.2 Távolsággal definiált ponthalmazok

Kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező – alkalmazások.
Parabola fogalma.

4.2 Geometriai transzformációk

Kapcsolat a függvényekkel (hozzárendelés).

4.2.1 Egybevágósági transzformációk

Eltolás, tengelyes/középpontos tükrözés, forgatás – leírás, tulajdonságok, végrehajtás.
Háromszögek egybevágósága (alapesetek), alakzatok szimmetriái felismerése.

4.2.2 Hasonlósági transzformációk

Középpontos nagyítás/kicsinyítés; háromszögek hasonlósági alapesetei; hasonlóság aránya.
Terület- és felszín/térfogat-arányok hasonló alakzatoknál/testeknél.

4.2.3 Egyéb transzformációk

Merőleges vetítés – alapfeladatok.

4.3 Síkbeli és térbeli alakzatok

Csoportosítás különböző szempontok szerint.

4.3.1 Síkbeli alakzatok

Háromszög: típusok, háromszög-egyenlőtlenség, belső/külső szögösszeg, nagyobb oldal–nagyobb szög.
Nevezetes vonalak/pontok/körök: oldalfelező merőleges, szögfelező, magasság-, súly-, középvonal; beírt/körülírt kör.
Pitagorasz-tétel és megfordítása; speciális háromszögek tulajdonságai; magasság- és befogótétel.
Négyszögek: trapéz, paralelogramma, deltoid, rombusz, téglalap, négyzet – jellemzők; konvex négyszög szögösszegek.
Húrnégyszög/érintőnégyszög tételei (alkalmazás szinten).
Sokszögek: átlók száma, belső/külső szögösszeg; szabályos sokszög fogalma.
Kör: részek, érintő merőleges sugárra; külső pontból érintőszakaszok egyenlők; középponti szög–ív–körcikk arány; Thalész-tétel; kerületi–középponti szög kapcsolata (alkalmazás).

4.3.2 Térbeli alakzatok

Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb, csonkagúla, csonkakúp – elemek, alapfeladatok.

4.4 Vektorok síkban és térben

Vektor, hossza; null- és ellentett vektor; összeg, különbség, skalárral szorzás.
Koordináták; műveletek koordinátákkal; vektori azonosságok.
Skalárszorzat definíciója, tulajdonságai; vektorok hajlásszöge.
90°-os elforgatott koordinátái; skalárszorzat számítása koordinátákból (használat).

4.5 Trigonometria

Derékszögű háromszögben szögfüggvények definíciói; tompaszög származtatás kiegészítő szögből.
Alapösszefüggések: pótszögek, kiegészítő szögek, sin²α+cos²α=1, tg α=sinα/cosα.
Nevezetes szögek (30°, 45°, 60°); inverz szögfüggvények számológéppel.
Szinusz- és koszinusztétel (alkalmazás).

4.6 Koordinátageometria

4.6.1 Pontok, vektorok

AB⃗ koordinátái, hossza; két pont távolsága.
Szakasz felezőpontja (alkalmazás).

4.6.2 Egyenes

Egyenes egyenlete: y=mx+b, illetve x=c; metszéspont számítása.
Párhuzamosság/merőlegesség meredekséggel; egyszerű feladatok megoldása.

4.6.3 Kör

Adott középpont, sugár → kör egyenlete; kör–egyenes metszés; érintő egyenlete adott pontban.
Két kör kölcsönös helyzete, metszéspontok.

4.6.4 Parabola

Levezetés az x²=2py alakra; feladatok y-tengellyel párhuzamos tengely esetén.

4.7 Kerület, terület

Háromszög: T= a·m/2 = ab·sinγ/2; nevezetes négyszögek, szabályos sokszögek; kör, körcikk, körszelet, körgyűrű.

4.8 Felszín, térfogat

Hasáb, gúla, henger, kúp, gömb, csonkagúla, csonkakúp – alap képletek, egyszerű esetek.

4.1 Elemi geometria – emelt fókusz

Kitérő egyenesek távolsága és hajlásszöge.
Pont–egyenes/sík, párhuzamos síkok távolsága – pontos meghatározások.

4.1.2 Ponthalmazok

Parabola precíz definíciója; halmaz-megadás távolságfogalommal.

4.2 Transzformációk – emelt fókusz

Egybevágósági transzformációk teljes definíciói; síkidomok és sokszögek egybevágóságának feltétele.
Térbeli egybevágósági transzformációk példákkal.
Középpontos hasonlóság, általános hasonlósági transzformáció definíciói.
Párhuzamos szelők tétele, megfordítása; párhuzamos szelőszakaszok tétele.
Belső szögfelező tétel – bizonyítás és alkalmazás.

4.3 Sík- és térgeometria – emelt fókusz

Háromszög nevezetes vonalai/pontjai/körei – tételek bizonyítása.
Pitagorasz tétel és megfordítása – bizonyítás; magasság- és befogótétel – bizonyítás és használat.
Húrnégyszög és érintőnégyszög tételei és megfordítása.
Konvex sokszög: átlók száma, belső/külső szögösszeg – bizonyítás; szabályos sokszög.
Kör: érintő merőleges sugárra; külső pontból érintők egyenlők – bizonyítás.
Kerületi–középponti szögek tétele; Thalész-tétel és megfordítása – bizonyítás.
Fok és radián; látókör fogalma.

4.4 Vektorok – emelt fókusz

Egyértelmű vektorfelbontás tétele.
Skalárszorzat képlete koordinátákból – bizonyítás.

4.5 Trigonometria – emelt fókusz

Szögfüggvények általános definíciója (forgásszög); középszint összefüggéseinek kiterjesztése.
Addíciós képletek (táblázatból) alkalmazása: sin(α±β), cos(α±β), tg(α±β), sin2α, cos2α, tg2α.
Szinusz- és koszinusztétel – bizonyítás és alkalmazás.

4.6 Koordinátageometria – emelt fókusz

Felező- és harmadoló pont; háromszög súlypontjának koordinátái – igazolás és használat.
Egyenes egyenlete több alakban és többféle kiinduló adattal; hajlásszög számítása.
Kör: teljes levezetés; kör–egyenlet kapcsolata kétismeretlenes másodfokúval; középpont és sugár meghatározása.
Érintő egyenlete adott pontban; két kör kölcsönös helyzete.
Parabola: x²=2py levezetése, feladatok.

4.7 Kerület, terület – emelt

Háromszög területképletek bizonyítása; T = s·r (bizonyítással), T=√{s(s−a)(s−b)(s−c)} (Heron).
Nevezetes négyszögek és szabályos sokszögek területképleteinek bizonyítása.

4.8 Felszín, térfogat – emelt

Csonkagúla és csonkakúp térfogatképlete – bizonyítás.

Kulcsok: egybevágóság & hasonlóság • háromszög- és körtételek • trigonometria (szinusz/koszinusz tétel) • egyenes & kör egyenlete • terület–térfogat képletek

5) Valószínűség-számítás, statisztika

5.1 Leíró statisztika

5.1.1 Adatok, rendszerezés, ábrázolás

Adathalmaz táblázatba rendezése; táblázatból feldolgozás.
Véletlenszerű mintavétel szemlélete.
Diagramok készítése: kördiagram, oszlopdiagram, sodrófa (box-plot).
Megfelelő diagramtípus kiválasztása és indoklása; információk leolvasása.
Grafikus manipulációk felismerése és javítása.
Fogalmak: osztályba sorolás, gyakorisági/relatív gyakorisági diagram.
Adathalmazok összehasonlítása sodrófa-diagram alapján.

5.1.2 Nagy adathalmazok mutatói

Mutatók: átlag, medián, módusz, kvartilisek, terjedelem, szórás.
Egyesítés átlaga ismert részatlagokból.
Szórás számítása (definícióval vagy számológéppel).
Halmazok összehasonlítása a mutatók segítségével.

5.2 A valószínűség-számítás elemei

Fogalmak: esemény, eseménytér, elemi esemény; összeg (unió), szorzat (metszet), komplementer; kizáró és független események.
Laplace-modell; komplementer valószínűség számítása.
Relatív gyakoriság ↔ valószínűség szemléletes kapcsolata.
Geometriai valószínűség egyszerű esetekben.

Kulcsok: helyes diagramválasztás • medián ≠ átlag • szórás & terjedelem • komplementer P • feltételes P • binomiális/hipergeometriai modell • várható érték

6) Vizsgatippek

Írj mindent le: képlet → behelyettesítés → számolás → szöveges válasz.
Egység és kerekítés: jelezd egyértelműen (pl. „2 tizedesre kerekítve…”).
Ábra: még egyszerűnél is, segíti a pontozást.
Időgazdálkodás: ha beragadsz, jelöld, lapozz. Visszatérsz rá a végén.

PRO TIPP Ellenőrzés: gyors becslés, visszahelyettesítés, szélsőérték-próba.

Érettségi tudásbázis – ingyenes könyvtár

Matematika – érettségi követelmények

1) Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok

1.1 Halmazok

1.1.1 Halmazműveletek

1.1.2 Számosság, részhalmazok

1.2 Matematikai logika

1.2.1 Fogalmak, tételek és bizonyítások

1.3 Kombinatorika

1.4 Gráfok

1.1 Halmazok – emelt fókusz

1.1.2 Számosság – mélyebben

1.2 Logika – emelt fókusz

1.2.1 Bizonyítási módszerek

1.3 Kombinatorika – emelt fókusz

1.4 Gráfok – emelt fókusz

2) Számelmélet, algebra

2.1 Alapműveletek

2.2 Természetes számok, alapfogalmak

2.2.1 Oszthatóság

2.2.2 Számrendszerek

2.3 Racionális és irracionális számok

2.4 Valós számok

2.5 Hatvány, gyök, logaritmus

2.6 Betűkifejezések

2.6.1 Nevezetes azonosságok

2.7 Arányosság

2.8 Egyenletek, rendszerek, egyenlőtlenségek

2.8.1 Algebrai egyenletek, rendszerek

2.8.2 Nem algebrai

2.8.3 Egyenlőtlenségek

2.9 Középértékek, egyenlőtlenségek

2.2 Számelmélet – emelt fókusz

2.3 Racionális–irracionális – emelt fókusz

2.5 Hatvány, gyök, logaritmus – emelt

2.6 Nevezetes azonosságok – emelt

2.7 Arányosság – emelt

2.8 Egyenletek/egyenlőtlenségek – emelt fókusz

2.9 Középértékek – emelt

3) Függvények, az analízis elemei

3.1 A függvény

3.2 Egyváltozós valós függvények

3.2.1 Grafikon & transzformációk

3.2.2 Függvényjellemzés

3.3 Sorozatok

3.3.1 Számtani és mértani sorozatok

3.3.2 Végtelen mértani sor

3.3.3 Kamatos kamat, járadék

3.4 Analízis – alapok

3.4.1 Határérték, folytonosság

3.4.2 Differenciálszámítás

3.4.3 Integrálszámítás

3.1 Függvényfogalom – emelt fókusz

3.2 Alapfüggvények

3.2.1 Transzformációk – általános alak

3.2.2 Jellemzés – bővebben

3.3 Sorozatok – emelt fókusz

3.3.1 Számtani & mértani – levezetés

3.3.2 Végtelen mértani sor

3.3.3 Pénzügyek – emelt

3.4 Analízis – emelt fókusz

3.4.2 Differenciálszámítás – bizonyítások

3.4.3 Integrál – eszköztár

4) Geometria, koordinátageometria, trigonometria

4.1 Elemi geometria

4.1.1 Térelemek

4.1.2 Távolsággal definiált ponthalmazok

4.2 Geometriai transzformációk

4.2.1 Egybevágósági transzformációk

4.2.2 Hasonlósági transzformációk

4.2.3 Egyéb transzformációk

4.3 Síkbeli és térbeli alakzatok

4.3.1 Síkbeli alakzatok

4.3.2 Térbeli alakzatok

4.4 Vektorok síkban és térben

4.5 Trigonometria

4.6 Koordinátageometria

4.6.1 Pontok, vektorok

4.6.2 Egyenes

4.6.3 Kör